Una guía detallada para 2º de Bachillerato: Desde los sistemas de ecuaciones hasta los valores propios.
Estimados estudiantes, Ante vosotros se despliega una memoria detallada que servirá como guía y mapa conceptual para nuestro estudio del álgebra lineal. Esta rama de las matemáticas no es un simple conjunto de reglas, sino un lenguaje universal que articula desde el comportamiento de las partículas subatómicas hasta las complejas dinámicas de la economía mundial. Cada concepto que abordaremos está interconectado, formando una estructura lógica de una belleza y potencia formidables. Os invito a estudiar este documento no como una mera lista de temas, sino como la crónica de un viaje intelectual. Prestad atención a las transiciones, a cómo una idea da a luz a la siguiente, y descubriréis la profunda coherencia que hace del álgebra lineal una de las herramientas más poderosas del pensamiento científico. El dominio de estos fundamentos es un pilar esencial para vuestro éxito en las Pruebas de Acceso a la Universidad y en vuestra futura carrera académica y profesional.
El álgebra es una de las disciplinas más antiguas y fundamentales del pensamiento humano, con una historia que se extiende por más de 4000 años. Lejos de ser un artefacto histórico, sus principios son el andamiaje sobre el que se construyen campos tan diversos y modernos como la física, la ingeniería, la economía y la ciencia computacional. Desde el diseño de aviones hasta el análisis de mercados financieros, el álgebra lineal proporciona las herramientas para modelar y resolver problemas de una complejidad extraordinaria. Este bloque temático se centra en dos pilares: los métodos sistemáticos para la resolución de sistemas de ecuaciones lineales y el poderoso simbolismo del lenguaje matricial, que nos permitirá organizar y manipular información de manera eficiente y elegante.
Para navegar este vasto territorio, nuestra principal herramienta será la matriz, un concepto que nos permitirá encapsular sistemas complejos en una estructura ordenada y manejable, convirtiéndose en el punto de partida de todo nuestro análisis.
Las matrices constituyen la piedra angular de nuestro estudio. Son mucho más que simples arreglos de números; son la herramienta que nos permite representar sistemas complejos de relaciones lineales de una manera ordenada, compacta y computacionalmente eficiente. Cualquier sistema de ecuaciones lineales, sin importar su tamaño, puede ser codificado de forma inequívoca a través de su matriz de coeficientes y su matriz aumentada, abriendo la puerta a un método de resolución universal.
Una matriz de tamaño \(m \times n\) es un arreglo rectangular de números organizado en \(m\) filas y \(n\) columnas. Es crucial recordar que la convención siempre dicta nombrar primero el número de filas (\(m\)) y luego el de columnas (\(n\)). Por ejemplo, la siguiente es una matriz de \(3 \times 4\):
\[ A = \begin{bmatrix} 0 & 3 & -6 & 6 \\ 3 & -7 & 8 & -5 \\ 3 & -9 & 12 & -9 \end{bmatrix} \]Para un sistema de ecuaciones lineales, definimos dos matrices clave:
Consideremos el siguiente sistema lineal:
\[ \begin{alignedat}{6} x_1 & {}-{} & 2x_2 & {}+{} & x_3 & {}={} & 0 \\ & & 2x_2 & {}-{} & 8x_3 & {}={} & 8 \\ -4x_1 & {}+{} & 5x_2 & {}+{} & 9x_3 & {}={} & -9 \end{alignedat} \]Su matriz de coeficientes es \(A = \begin{bmatrix} 1 & -2 & 1 \\ 0 & 2 & -8 \\ -4 & 5 & 9 \end{bmatrix}\) y su matriz aumentada es \([A|\mathbf{b}] = \begin{bmatrix} 1 & -2 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & -8 & 8 \\ -4 & 5 & 9 & -9 \end{bmatrix}\).
El algoritmo de reducción por filas (también conocido como eliminación gaussiana) es el procedimiento sistemático central para resolver cualquier sistema de ecuaciones lineales. La estrategia es simple pero poderosa: reemplazar un sistema por otro sistema equivalente —es decir, con el mismo conjunto de soluciones— que sea progresivamente más fácil de resolver. Este proceso se lleva a cabo mediante una secuencia de operaciones bien definidas que no alteran la solución del sistema.
Dos matrices se denominan equivalentes por filas si una puede transformarse en la otra mediante una secuencia de estas operaciones.
El objetivo del algoritmo de reducción es llevar la matriz aumentada a una de dos formas estándar:
| Caso | Condición de Rangos | Tipo de Solución |
|---|---|---|
| 1 | \(\text{rango}(A) = \text{rango}([A|\mathbf{b}]) = n\) | Sistema Compatible Determinado (Solución Única) |
| 2 | \(\text{rango}(A) = \text{rango}([A|\mathbf{b}]) < n\) | Sistema Compatible Indeterminado (Infinitas Soluciones) |
| 3 | \(\text{rango}(A) \neq \text{rango}([A|\mathbf{b}])\) | Sistema Incompatible (Sin Solución) |
Un sistema de ecuaciones lineales puede interpretarse geométricamente como una pregunta sobre vectores: ¿Es un vector combinación lineal de otros?
La ecuación matricial \(A\mathbf{x} = \mathbf{b}\) tiene solución si, y solo si, el vector \(\mathbf{b}\) es una combinación lineal de las columnas de A.
Un conjunto de vectores es linealmente independiente si la única forma de obtener el vector cero mediante su combinación lineal es usando pesos nulos (\(c_i = 0\)).
Las matrices tienen su propia aritmética. Suma, resta y multiplicación (no conmutativa) son fundamentales. La "división" se maneja a través de la matriz inversa.
Si \(A\) es una matriz cuadrada y existe \(A^{-1}\) tal que \(A A^{-1} = I\), entonces \(A\) es invertible. Para una matriz \(2 \times 2\):
\[ A^{-1} = \frac{1}{ad-bc} \begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix} \]Para una matriz cuadrada \(n \times n\), ser invertible es equivalente a tener determinante no nulo, rango \(n\), columnas linealmente independientes, entre otras propiedades conectadas.
El determinante es un número que nos dice si una matriz es invertible (\(\det \neq 0\)) y tiene interpretaciones geométricas de área y volumen.
Un vector propio de \(A\) es un vector \(\mathbf{v}\) que no cambia de dirección al ser multiplicado por \(A\), solo se escala por un factor \(\lambda\) (valor propio).
\[ A\mathbf{v} = \lambda\mathbf{v} \]Los valores propios son las raíces del polinomio característico: \(\det(A - \lambda I) = 0\).
Si \(A\) tiene suficientes vectores propios independientes, se puede escribir como \(A = PDP^{-1}\), lo que facilita enormemente el cálculo de potencias \(A^k\).
Pon a prueba tus conocimientos con estos 5 ejercicios clave, explicados paso a paso.
Dadas las matrices \(A\) y \(B\), calcula el producto \(C = A \cdot B\).
\[ A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}, \quad B = \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 1 & -1 \end{bmatrix} \]\(A\) es \(2 \times 2\) y \(B\) es \(2 \times 2\). El resultado será una matriz \(2 \times 2\).
\( (1)(2) + (2)(1) = 2 + 2 = 4 \)
\( (1)(0) + (2)(-1) = 0 - 2 = -2 \)
\( (3)(2) + (4)(1) = 6 + 4 = 10 \)
\( (3)(0) + (4)(-1) = 0 - 4 = -4 \)
Calcula el determinante de la matriz \(M\) utilizando la Regla de Sarrus.
\[ M = \begin{bmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 3 \\ 0 & 2 & 1 \end{bmatrix} \]\( (2)(-1)(1) + (1)(2)(0) + (0)(1)(3) = -2 + 0 + 0 = -2 \)
\( (0)(-1)(0) + (2)(2)(3) + (1)(1)(1) = 0 + 12 + 1 = 13 \)
\( \det(M) = (\text{Suma principales}) - (\text{Suma secundarias}) \)
\( \det(M) = -2 - 13 = -15 \)
Encuentra la inversa de la matriz \(A\).
\[ A = \begin{bmatrix} 4 & 7 \\ 2 & 6 \end{bmatrix} \]\( \det(A) = (4)(6) - (7)(2) = 24 - 14 = 10 \)
Como \(\det(A) \neq 0\), la inversa existe.
Resuelve el siguiente sistema mediante reducción por filas:
\[ \begin{cases} x + y = 3 \\ 2x - y = 0 \end{cases} \]\(F_2 \leftarrow F_2 - 2F_1\)
\[ \left[\begin{array}{cc|c} 1 & 1 & 3 \\ 0 & -3 & -6 \end{array}\right] \]De la segunda fila: \(-3y = -6 \implies y = 2\)
De la primera fila: \(x + y = 3 \implies x + 2 = 3 \implies x = 1\)
\(x = 1, \quad y = 2\)
Encuentra los valores propios de la matriz \(A\).
\[ A = \begin{bmatrix} 3 & 1 \\ 0 & 2 \end{bmatrix} \]\(\det(A - \lambda I) = 0\)
\[ \det \begin{bmatrix} 3-\lambda & 1 \\ 0 & 2-\lambda \end{bmatrix} = 0 \]Como es una matriz triangular, el determinante es el producto de la diagonal.
\((3-\lambda)(2-\lambda) = 0\)
Las soluciones son directas:
\(\lambda_1 = 3\)
\(\lambda_2 = 2\)
Discute y resuelve el siguiente sistema homogéneo en función del parámetro \(m\):
\[ \begin{cases} mx + 2y + z = 0 \\ 4x + 2my + mz = 0 \\ 2x + (2m-2)y + z = 0 \end{cases} \]Al ser un sistema homogéneo, siempre admite la solución trivial \((0,0,0)\).
Matriz de Coeficientes:
\[ A = \begin{bmatrix} m & 2 & 1 \\ 4 & 2m & m \\ 2 & 2m-2 & 1 \end{bmatrix} \]Desarrollamos por Sarrus o cofactores:
\(|A| = m(2m(1) - m(2m-2)) - 2(4(1) - m(2)) + 1(4(2m-2) - 2m(2))\)
Simplificando:
\(|A| = m(2m - 2m^2 + 2m) - 2(4 - 2m) + (8m - 8 - 4m)\)
\(|A| = 4m^2 - 2m^3 - 8 + 4m + 4m - 8\)
Factorizando (sacando factor común y raíces):
\(|A| = -2(m-2)(m+2)\)
Valores críticos: \(m=2\) y \(m=-2\).
CASO 1: \(m \neq 2\) y \(m \neq -2\)
\(|A| \neq 0\), Rango(A)=3. S.C.D. Solución única trivial \((0,0,0)\).
CASO 2: \(m = 2\)
Sustituimos \(m=2\). Rango=1.
Ecuación: \(2x + 2y + z = 0\). Parametrizamos \(x=\lambda, y=\mu\).
Solución: \((\lambda, \mu, -2\lambda - 2\mu)\)
CASO 3: \(m = -2\)
Sustituimos \(m=-2\). Rango=2.
Sistema equivalente: \(\begin{cases} -2x + 2y + z = 0 \\ 2x - 6y + z = 0 \end{cases}\)
Solución paramétrica (\(y=\lambda\)): \((2\lambda, \lambda, 2\lambda)\)
Resuelve el mismo sistema mediante el método de Gauss (triangulación).
\[ \begin{cases} mx + 2y + z = 0 \\ 4x + 2my + mz = 0 \\ 2x + (2m-2)y + z = 0 \end{cases} \]Para evitar \(m\) en el pivote, hacemos \(F_1 \leftrightarrow F_3\):
\[ \left[\begin{array}{ccc} 2 & 2m-2 & 1 \\ 4 & 2m & m \\ m & 2 & 1 \end{array}\right] \]\(F_2 \leftarrow F_2 - 2F_1\)
\(F_3 \leftarrow 2F_3 - mF_1\)
Operando:
\[ \left[\begin{array}{ccc} 2 & 2m-2 & 1 \\ 0 & -2(m-2) & m-2 \\ 0 & -2(m-2)(m+1) & -(m-2) \end{array}\right] \]Observamos factor común \((m-2)\). Si \(m \neq 2\), podemos simplificar o seguir operando.
Hacemos \(F_3 \leftarrow F_3 - (m+1)F_2\):
\[ \left[\begin{array}{ccc} 2 & 2m-2 & 1 \\ 0 & -2(m-2) & m-2 \\ 0 & 0 & -(m-2)(m+2) \end{array}\right] \]Si \(m=2\): \(F_2\) y \(F_3\) son nulas. Rango 1. Infinitas soluciones (2 parámetros).
Si \(m=-2\): \(F_3\) tiene un cero en la diagonal (elemento 3,3). Rango 2. Infinitas soluciones (1 parámetro).
Si \(m \neq \pm 2\): Rango 3. Solución única trivial.